Karya Monumentalku


Matematika adalah suatu bidang ilmu yang disebut-sebut sebagai “Mother of Science” karena dalam setiap bidang ilmu pengetahuan alam yang lain seperti kima, fisika, komputer, dan biologi selalu ada kajian tentang matematika.  Oleh karena itu, matematika menjadi bidang yang memiliki kajian yang luas.  Salah satu kajian dalam matematika adalah aljabar.

Aljabar merupakan pendefinisian simbol-simbol sebagai suatu bilangan yang dapat dimanipulasi sebagai aljabar klasik.  Saat ini, aljabar dapat merupakan suatu pendefinisian simbol-simbol yang mewakili apa saja yang dapat dimanipulasi yang disebut sebagai aljabar modern.  Dalam aljabar, terdapat suatu kajian tentang ruang vektor yang memiliki beberapa bentuk umum dan pemanfaatan dalam suatu bidang aplikasi melalui matematika.

Ruang vektor adalah suatu kumpulan elemen yang disebut vektor yang dapat dioperasikan dengan penjumlahan dan perkalian.  Ruang vektor adalah materi dalam aljabar linear dengan dimensi sebagai karakteristiknya.

Berdasarkan sejarah, terapan ide ruang vektor tertuang pada abad ke-17 dalam analisis geometri, matriks, sistem persamaan linear, dan ruang Euclid.  Di masa modern, ruang vektor mulai dikembangkan pada abad ke-19 tentang objek dalam ruang Euclid, garis, bidang, dan dimensi ruang vektor yang lebih tinggi.  Saat ini, ruang vektor diaplikasikan dalam semua ilmu matematika, ilmu pengetahuan alam dan bidang teknik.  seperti solusi dari sistem persamaan linear, penjabaran fourier yang disketsakan dalam kompresi gambar, abstrak dari koordinat geometri objek fisik seperti tensor-tensor, pemeriksaan sifat lokal manifold dengan teknik linearisasi, dan sebagainya.  Dengan mengikuti luasnya penerapan ruang vektor dapat terlihat bahwa ruang vektor dapat digeneralisasi dalam beberapa bentuk atau struktur aljabar.  Salah satu bentuk generalisasi ruang vektor adalah modul dalam aljabar abstrak.

Dalam aljabar abstrak, Modul merupakan dua himpunan (grup abel dan ring) yang memiliki satu operasi biner.  Dengan demikian, modul atas lapangan adalah bentuk umum dari ruang vektor dimana operasi penjumlahan dipenuhi oleh grup abel dan perkalian skalar dipenuhi oleh perkalian antara grup abel dengan skalar dari lapangan.  Melihat sifat ini, dapat diartikan modul adalah salah satu bentuk struktur aljabar.  Layaknya struktur aljabar, modul memiliki submodul yang didasari dari himpunan bagian dari modul yang tertutup pada operasi biner yang sama.

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.  Objek dalam himpuan disebut elemen, unsur, atau anggota.  Beberapa atau seluruh objek dalam suatu himpunan dapat diambil kemudian dikumpulkan dalam himpunan yang baru (berbeda) yang kemudian disebut dengan himpunan bagian.  Jika dalam himpunan yang terambil terdapat objek yang tidak terdapat dalam himpunan bagian, maka himpunan bagian tersebut adalah himpunan bagian sejati.  Mengingat kembali struktur aljabar adalah suatu himpunan dengan operasi biner dengan demikian struktur aljabar tersebut memiliki himpunan bagian dengan operasi biner yang sama seperti subgrup pada grup, subring pada ring, submodul pada modul, dan sebagainya.

Submodul merupakan himpunan bagian dari modul dengan operasi biner yang sama.  Dengan pemahaman himpunan bagian sejati, dapat diartikan pada modul terdapat submodul sejati yang merupakan himpunan bagian dari modul sehingga terdapat suatu elemen dalam modul, namun elemen tersebut tidak terdapat dalam submodul.  Dalam skripsi ini, pembahasan terkonsentrasi pada modul sederhana.

Modul sederhana merupakan modul yang tidak memiliki submodul sejati.  Dengan memahami definisi ini, dapat diartikan submodul dari modul sederhana adalah submodul trivial {0} dan dirinya sendiri.  Kajian modul sederhana mendasari suatu teorema yang menjelaskan bahwa ring primitif isomorfis pada suatu dense ring endomorfisma yang tertulis pada Teorema Jacobson Density.

Teorema Jacobson Density telah dibuktikan oleh Nathan Jacobson dalam karya tulisnya “Structure theory of simple rings without finiteness assumptions,Trans.  Amer.  Math.  Soc., 1945.  Dalam matematika, khususnya dalam teori ring non-komutatif, aljabar modern, dan modul teori, Teorema Jacobson Density adalah teorema yang konsentrasi dalam pembahasan modul sederhana atas ring R.

Teorema Jacobson Density membahas tentang ring primitif yang merupakan dense ring endmorfisma dari ruang vektor atas ring divisi.  Jika ring primitif ini berlaku pada suatu ring Artin, maka ruang vektor tersebut merupakan ruang vektor dengan dimensi terbatas atas ring divisi, dan dengan demikian ring tersebut merupakan ring dari transformasi linear.  Dengan kata lain, pada ring Artin hal berikut ini akan ekuifalen, (1) Ring primitif, (2) Ring Sederhana, dan (3) Merupakan ring dari transformasi linear dari dimensi terbatas ruang vektor atas ring divisi.  Pada kajian ring Artin ini, Teorema Jacobson Density dapat dilihat sebagai salah satu bentuk umum dari kesimpulan Teorema Artin-Wedderburn tentang struktur dari ring Artin sederhana..

Menurutmu bagaimana?

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s