Integral takwajar


Dari Wikipedia Indonesia, artikel bebas.

 

Dalam kalkulus, integral takwajar adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, atau โˆž โˆ’โˆž atau, pada beberapa kasus, keduanya.

Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentuk

 

lim_{btoinfty} int_a^bf(x), dx, qquad lim_{ato -infty} int_a^bf(x), dx,

atau dalam bentuk

lim_{cto b^-} int_a^cf(x), dx,quad
lim_{cto a^+} int_c^bf(x), dx,

dengan limit diambil pada salah satu batas atau keduanya. (Apostol 1967, ยง10.23). Integral takwajar juga dapat terjadi pada titik dalam domain pengintegralan, atau pada beberapa titik seperti itu.

Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah takhingga.

 

Contoh

 

Integral berikut tidak ada sebagai integral Riemann

int_1^infty frac{1}{x^2},dx

karena domain integrasi tidak berbatas. Integral Riemann hanya terdefinisi pada domain berbatas. Namun integral tersebut dapat memiliki nilai sebagai integral takwajar dengan menafsirkannya sebagai limit

lim_{btoinfty} int_1^bfrac{1}{x^2},dx = lim_{btoinfty} left[-frac{1}{b} + frac{1}{1}right] = 1.

Integral berikut juga tidak terdefinisi sebagai integral Riemann:

int_0^1 frac{1}{sqrt{x}},dx.

Di sini fungsi tidak terdefinisi bila x=0, atau dengan kata lain fungsi tidak berbatas. Integral Riemann tidak terdefinisi dalam kasus tersebut. Hamun bila integral tersebut ditafsirkan sebagai limit

 

lim_{ato 0^+}int_a^1frac{1}{sqrt{x}}, dx = lim_{ato 0^+}left[2sqrt{1}-2sqrt{a}right]=2,

maka limit tersebut konvergen.

Iklan

Menurutmu bagaimana?

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s